Eh già, siamo arrivati a parlare di un po’ di teoria, calcoli, formule e annoiamenti vari. I concetti che vi andrò ad illustrare quest’oggi non li ho scritti solo per annoiarvi, ma perchè ci serviranno nei prossimi appuntamenti sui transistors e comunque fanno parte dei concetti base dell’elettronica. Come sempre cercherò di rendervi le cose facili facili, altrimente vi annoiate e non tornate più :-).
Nodi, rami e maglie
Cominciamo con un po’ di definizioni guardando lo schema a lato: il nodo è il punto di confluenza fra almeno tre conduttori, per cui nel nostro caso saranno nodi gli incroci contrassegnati con A e B. Se avete notato, nello schema sono segnalati con dei quadratini azzurri. Il ramo è invece la parte di circuito che collega due nodi. Nel nostro esempio ci sono tre rami:
- ramo 1: da A passa a R1, V1 e giunge a B
- ramo 2: da A passa a R2, V2 e giunge a B
- ramo 3: da A passa a R3, V3 e giunge a B
L’ultimo concetto è quello di maglia, ossia una parte di circuito chiuso. Nel nostro circuito ci sono due maglie che ho chiamato M1 e M2, che sono composte:
- M1 è composta dal ramo 1 e 2
- M2 è composta dal ramo 3 e 2
In realtà esiste una terza maglia che potremmo chiamare M3 che comprende quelle già viste e circola lungo tutto il perimetro del circuito (V1-R1-A-R3-V3-B-V1).
Le leggi di Kirchhoff.
- La prima legge, detta anche legge dei nodi o delle correnti, stabilisce che dato un nodo, la somma delle correnti in entrata ed uscita da esso deve essere uguale a zero.
- La seconda legge, detta legge delle maglie o delle tensioni, asserisce che la somma dei potenziali lungo una maglia deve essere uguale a zero.
Per dimostrare la prima legge, prendiamo il nodo A come esempio. Dei tre rami che vi convergono è alquanto logico comprendere che non è possibile che tutte e tre le correnti “arrivino” al nodo o che tutte e tre “escano” dal nodo. Almeno una delle tre dovrà avere un verso diverso per cui ci saranno correnti in “entrata” e correnti in “uscita” la cui somma sarà pari a zero, visto che di per se il nodo non assorbe corrente. E’ come se fossero dei tubi di acqua: tanta acqua arriva e tanta uscirà, se diamo un segno arbitrariamente positivo a quella che entra e negativo a quella che esce, la somma risulterà comunque zero.
La seconda legge, detta anche legge delle maglie, stabilisce che la somma dei potenziali lungo la maglia deve essere uguale a zero. Perciò sommando le tensioni dei generatori alle cadute di potenziale dei resistori, la somma di questi valori sarà pari a zero sia per la maglia M1 che per la maglia M2 (ed M3).
Partendo da questi concetti vediamo come risolvere il circuito visto sopra, ossia cerchiamo di ricavare le correnti che attraversano i singoli spezzoni del circuito approfondendo i concetti appena enunciati.
La prima cosa da fare è scegliere in maniera arbitraria un senso di scorrimento della corrente nel nostro circuito. Lo possiamo fare a nostro piacimento, nel caso poi non corrisponda al reale verso di scorrimento della corrente, otterremo dei valori di corrente invertiti a cui cambieremo il segno.
Prendiamo a riferimento lo schema qui a lato. Per prima cosa ho disegnato con le freccette gialle, la direzione arbitrariamente scelta per lo scorrimento della corrente. Si rammenta nuovamente che il verso è del tutto arbitrario, lo scegliamo in base alle nostre preferenze. Nel nostro esempio ho scelto di far scorrere le correnti a partire dai due generatori laterali Va e Vc per farla defluire nel ramo centrale tramite la corrente I2. Visto che la somma delle correnti entranti ed uscenti rispetto ad un nodo deve essere pari a zero, possiamo scrivere che I1+I3-I2=0 che equivale a I1+I3=I2.
La seconda cosa da fare è altrettanto importante, quantomeno per noi novellini dell’elettronica. Seguendo il percorso della corrente appena scelto dobbiamo scrivere le “polarità” dei resistori per cui mettiamo un piccolo “+” all’ingresso del resistore ed un “-” alla sua uscita. Osserviamo con molta attenzione lo schema qui vicino: da Va seguiamo il percorso della corrente raggiungiamo R1 per cui mettiamo il + in ingresso ed il – in uscita. Giungiamo al nodo A e scendiamo verso la resistenza R2 ponendo un altro +. Si noti che dal nodo A non potevamo andare verso R3 in quanto abbiamo stabilito prima un verso opposto della corrente in questo ramo, infatti se osservate la polarità della resistenza R3 partendo dal nodo A, questa risulta invertita.
Ora dobbiamo scrivere le equazioni delle maglie. Prendiamo ad esempio la maglia M1. Ho deciso arbitrariamente di partire da Va e valutare i vari punti in senso orario come nella freccia gialla, ma avremmo potuto partire da qualunque punto ed anche in senso inverso, indipendentemente da qual’è la direzione della corrente precedentemente scelto. Partendo da Va ed “uscendo” dal +, otteniamo una tensione positiva Va: facciamo attenzione che se avessimo scelto di andare in senso antiorario la corrente sarebbe uscita dal polo negativo per cui avremmo dovuto cominciare con un -Va. Proseguiamo con R1: quando nei resistori incontriamo per primo il segno positivo dobbiamo registrare una caduta di tensione, se invece incontrassimo prima il segno negativo avremmo dovuto selezionare un incremento di tensione. In questo caso possiamo perciò indicare con -V1 la caduta di tensione in R1. Poi passiamo per R2 con una nuova caduta di tensione. In ultimo il generatore Vb: anche in questo caso incontriamo prima il segno + per cui ci sarà un calo di tensione, se invece fosse stato polarizzato in modo inverso avremmo dovuto segnare un incremento di tensione.
In definitiva per la maglia M1 abbiamo: Va-R1-R2-Vb=0. Per la legger di Ohm, essendo V=R*I possiamo scrivere che Va-I1R1-I2R2-Vb=0.
Per ora abbiamo due equazioni ma le correnti che vogliamo calcolare sono 3 per cui ci serve almeno un’altra equazione per poter risolvere il circuito, dovranno esserci infatti almeno tante equazioni quante sono le variabili da calcolare.
A questo punto abbiamo due possibilità. La prima è calcolare la formula che descrive la seconda maglia, M2, o in alternativa la maglia che da Va passa al nodo A, passa per Vc, per il nodo B e rientra in Va (M3). Ho scelto quest’ultima opzione solo per dimostrare che non è necessario seguire il verso della corrente come stabilito nel primo punto. La prima parte dell’equazione è identica a quella per la maglia M1 per cui è Va-I1R1. Ora raggiungiamo R3 ed incontriamo per primo il segno – per cui non ci sarà una caduta di tensione ma un incremento, cosa abbastanza logica se pensiamo che in questo istante stiamo “guardando” il circuito al rovescio rispetto all’ordine di scorrimento della corrente che abbiamo deciso prima. Per ultimo c’è il generatore -Vc.
Complessivamente la maglia M3 avrà la formula Va-I1R1+I3R3-Vc=0
A questo punto abbiamo ottenuto un sistema di tre equazioni lineari che sono:
- Va-I1R1-I2R2-Vb=0 → Va-Vb=I1R1+I2R2
- Va-I1R1+I3R3-Vc=0 → Va-Vc=I1R1-I3R3
- I1+I3-I2=0
Dato che conosciamo i valori di tensione dei generatori e le resistenze, otteniamo che:
- 4I1+6I2=9 → I2=(9-4I1)/6
- 4I1-18I3=3 → I3=(4I1-3)/18
- I1+I3-I2=0 → I1+(9-4I1)/6-(4I1-3)/18=0 → I1=30/34=0,882A
- Una volta calcolato I1 ricaviamo anche I2=0,912A e I3=0,029A.
Essendo i numeri ottenuti tutti positivi, significa che il verso della corrente scelto all’inizio del procedimento è corretto e corrisponde a quello reale, altrimenti andavano invertiti. Come vedete abbiamo risolto un problema apparentemente complesso in modo davvero molto semplice, l’importante è seguire ogni singolo passo con molta attenzione.